已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（

π

4

，0），將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個

π

2

單位長度后得到函數g（x）的圖象．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x₀的個數，若不存在，說明理由；
（3）求實數a與正整數n,使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點．