直角三角形有一個非常重要的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB中點，則CD=AD=BD=12AB．請你利用該定理和以前學過的知識解決下列問題：
如圖2，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；
（1）求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；
（3）如圖4，∠BAC=90°，a旋轉到與BC垂直的位置，E為BC上一點且AE=AC，EN⊥a于N，連接EC，取EC中點P，連接PM，PN，求證：PM⊥PN．
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【考點】幾何變換綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/14 8:0:9組卷：727引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖1～圖3所示，△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，AC＞BC．點O是射線AC上的一點，點M是射線BC上的一點，且BM=OA，把點M繞點O逆時針旋轉90°落在點N處，直線AN和直線OB相交于點P．
（1）當點O與點C重合時，點N必然落在AC上，且點P與點C重合，如圖2所示，請你直接寫出此時線段AN與線段OB的數量關系及∠APB的大小；
（2）當點O在如圖1所示的位置時，（1）中關于線段AN和線段OB的數量關系及∠APB大小的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明過程；如果不成立，請說明理由；
（3）當點O在如圖3所示的位置時，（1）中關于線段AN和線段OB的數量關系及∠APB大小的結論還成立嗎？請直接給出結論，不用說明理由.
發布：2025/6/8 15:30:1組卷：36引用：1難度：0.2 -
2．（1）感知：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．D，E分別是AC，BC的中點，連結DE．則△CDE和△CAB的面積比是 ．
（2）探究：將圖①中△CDE繞點C順時針旋轉，使點E在△CAB的內部．再連結AD，EF，延長BE交AC于點O，交AD于點F，如圖②．
①求證：△ACD～△BCE；②求證：AD⊥BF；
（3）拓展：將圖①中的△CDE繞點C順時針旋轉90°，使點D恰好落在BC的延長線上，點E在AC上．連結AD，BE，并延長BE交AD與點F，其他條件不變，如圖③．若AC=8，BC=6，求BF的長．
發布：2025/6/8 15:30:1組卷：15引用：1難度：0.4 -
3．在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（6，4），連接AB，將AB向下平移5個單位得線段CD，其中點A的對應點為點C
（1）填空：點C的坐標為，線段AB平移到CD掃過的面積為；
（2）若點P是y軸上的動點，連接PD．
①如圖（1），當點P在y軸正半軸時，線段PD與線段AC相交于點E，用等式表示三角形PEC的面積與三角形ECD的面積之間的關系，并說明理由；
②當PD將四邊形ACDB的面積分成2：3兩部分時，求點P的坐標．
發布：2025/6/8 14:30:2組卷：613引用：7難度：0.4