設F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，滿足|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周長為12．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求PF1?PF2的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知點A（8，0），B（2，0），是否存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
P
F
1
P
F
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（1）；
（2）有最小值8；有最大值12．
（3）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所以直線l的斜率存在，不妨設為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組
，消元得（4k2+3）x2-64k2x+16（16k2-3）=0
∵過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
設交點C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點為T（x0，y0）
∴x1+x2=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程無解
∴不存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
（2）
P
F
1
?
P
F
2
P
F
1
?
P
F
2
（3）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所以直線l的斜率存在，不妨設為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組
y = k （ x - 8 ） |
x 2 16 + y 2 12 = 1 |
∵過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
-
1
2
＜
k
＜
1
2
設交點C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點為T（x0，y0）
∴x1+x2=
64
k
2
4
k
2
+
3
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
32
k
2
4
k
2
+
3
y
0
=
k
（
x
0
-
5
）
=
-
24
k
4
k
2
+
3
∴T（
32
k
2
4
k
2
+
3
，
-
24
k
4
k
2
+
3
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
k
BT
=
-
24
k
4
k
2
+
3
32
k
2
4
k
2
+
3
-
2
=
-
24
k
24
k
2
-
6
∴
k
?
k
BT
=
-
24
k
2
24
k
2
-
6
=
-
1
∴不存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：147引用：5難度：0.3
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（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
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