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設(shè)a、b、c為正數(shù)，且
b
+
c
a
≤
c
+
a
b
≤
a
+
b
c
．證明：
（1）a≥b≥c；
（2）（a+b）（2b+c）（c+3a）≥24abc.

【考點(diǎn)】不等式的證明．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析．
（2）證明見(jiàn)解析．

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/7/21 8:0:9組卷：11引用：3難度：0.5

相似題

1．已知關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|≥|t-1|+t有解．
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若a,b,c均為正數(shù)，m為t的最大值，且2a+b+c=m.求證：
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
2
3
．
發(fā)布：2024/12/29 8:0:12組卷：65引用：9難度：0.5
解析
2．已知函數(shù)f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，設(shè)無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a₁=3，從第幾項(xiàng)起，數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)滿足a_n＜a_n+1；
（3）若1+
1
m
＜a₁＜
m
m
-
1
（m為常數(shù)且m∈N，m≠1），求最小自然數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，總有0＜a_n＜1成立．
發(fā)布：2025/1/14 8:0:1組卷：62引用：2難度：0.5
解析
3．我們知道，
（
a
+
b
2
）
2
≤
a
2
+
b
2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．即a,b的算術(shù)平均數(shù)的平方不大于a,b平方的算術(shù)平均數(shù)．此結(jié)論可以推廣到三元，即
（
a
+
b
+
c
3
）
2
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
3
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．
（1）證明：
（
a
+
b
+
c
3
）
2
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
3
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．
（2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式
x
+
y
+
z
≤
t
x
+
y
+
z
恒成立，利用（1）中的不等式，求實(shí)數(shù)t的最小值．
發(fā)布：2024/10/12 1:0:1組卷：18引用：2難度：0.4
解析

相關(guān)試卷

2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（12月份）

設(shè)a、b、c為正數(shù)，且b+ca≤c+ab≤a+bc．證明：（1）a≥b≥c；（2）（a+b）（2b+c）（c+3a）≥24abc.

1．已知關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|≥|t-1|+t有解．（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若a,b,c均為正數(shù)，m為t的最大值，且2a+b+c=m.求證：a2+b2+c2≥23．

設(shè)a、b、c為正數(shù)，且
b
+
c
a
≤
c
+
a
b
≤
a
+
b
c
．證明：
（1）a≥b≥c；
（2）（a+b）（2b+c）（c+3a）≥24abc.

1．已知關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|≥|t-1|+t有解．
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若a,b,c均為正數(shù)，m為t的最大值，且2a+b+c=m.求證：
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
2
3
．