如果一個四位自然數的百位數字大于或等于十位數字，且千位數字等于百位數字與十位數字的和，個位數字等于百位與十位數字的差，則我們稱這個四位數為親密數，例如：自然數4312，其中3＞1，4=3+1，2=3-1，所以4312是親密數；
（1）最小的親密數是11011101，最大的親密數是99099909；
（2）若把一個親密數的千位數字與個位數字交換，得到的新數叫做這個親密數的友誼數，請證明任意一個親密數和它的友誼數的差都能被原親密數的十位數字整除；
（3）若一個親密數的后三位數字所表示的數與千位數字所表示的數的7倍之差能被13整除，請求出這個親密數．
【考點】因式分解的應用．
【答案】1101；9909
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：2023引用：5難度：0.1
相似題
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1．對于一個三位自然數n,若將n的任意兩個數位的數對調后得到一個新三位數記為n'=100×a+10×b+c,其中a,b,c都是不小于1且不大于9的自然數，在所有的n'中，我們規定當|a-b-c|最小時的三位自然數n'是“n的好數”，并記S（n）=a-bc.例如由234得到的243，324，432中，因為|2-4-3|=5，|3-2-4|=3，|4-3-2|=1，1＜3＜5，所以432是“234的好數”，記S（234）=4-2×3=-2，則n'=432或423．
（1）求S（156）；
（2）設三位自然數n的百位和十位的數分別是x,y,個位數是6，且3x+y=17，若n'是“n的好數”，當S（n）取最大值時，求n'．發布：2025/6/8 19:30:1組卷：156引用：2難度：0.7 -
2．如果一個四位數M滿足各個數位數字都不為0，且千位數字與百位數字之和為9，將M的千位數字與百位數字組成的兩位數記為x,十位數字與個位數字組成的兩位數記為y,令F（M）=
，若F（M）為整數，則稱數M是“久久為功數”．x+2y9
例如：M=2754，∵2+7=9，x=27，y=54，F（M）==15為整數，∴M=2754是“久久為功數”；又如：M=6339，∵6+3=9，x=63，y=39，F（M）=27+2×549=63+2×399不為整數，∴M=6339不是“久久為功數”．473
（1）判斷1827，4532是否是“久久為功數”，并說明理由；
（2）把一個“久久為功數”M的千位數字記為a,十位數字記為b,個位數字記為c,令G（M）=，當G（M）為整數時，求出所有滿足條件的M．2c-3a2b+3a發布：2025/6/8 21:0:2組卷：111引用：1難度：0.5 -
3．若把一個多位正整數的個位數字截去，再用余下的數加上截去的個位數字的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除．例如，判斷19669是否能被13整除的過程如下：1966+9×4=2002，200+2×4=208，20+8×4=52，52是13的倍數，所以19669能被13整除．能被13整除的數叫“十三數”．
（1）請用上述方法判斷2821和6736是否能被13整除，并說明理由；
（2）一個三位數是一個“十三數”，其中x,y,z均為非零整數，x＜y＜z,1≤x,y,z≤9，若M的十位數字是百位數字與個位數字的平均數，則稱M為“平衡數”，并記M=xyz，求F（M）的值．F（M）=|x-y|z+1發布：2025/6/8 20:30:2組卷：120引用：2難度：0.7