設拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，A（x0，y0）（x0≠0）是拋物線C上的一定點．
（1）已知直線l過拋物線C的焦點F，且與C的對稱軸垂直，l與C交于Q，R兩點，S為C的準線上一點，若△QRS的面積為4，求p的值；
（2）過點A作傾斜角互補的兩條直線AM，AN，與拋物線C的交點分別為M（x1，y1），N（x2，y2）．若直線AM，AN的斜率都存在，證明：直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率．
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）p=2．
（2）證明：由題意A1（-x0，y0）
首先求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率．
設拋物線在A1處的切線的斜率為k，則其方程為y=k（x+x0）+y0
聯立
，消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0
將代入上式得：
即，即，得．
即拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率為．
（2）證明：由題意A1（-x0，y0）
首先求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率．
設拋物線在A1處的切線的斜率為k，則其方程為y=k（x+x0）+y0
聯立
y = k （ x + x 0 ） + y 0 |
x 2 = 2 py |
將
2
p
y
0
=
x
0
2
x
2
-
2
pkx
-
2
p
x
0
k
-
x
0
2
=
0
Δ
=
（
-
2
pk
）
2
+
4
（
2
p
x
0
k
+
x
0
2
）
=
0
即
p
2
k
2
+
2
p
x
0
k
+
x
0
2
=
0
（
pk
+
x
0
）
2
=
0
k
=
-
x
0
p
即拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率為
-
x
0
p
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：30難度：0.5
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