已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為12，右焦點到右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|OA+2OB|=|OA-2OB|成立？若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．
1
2
OA
OB
OA
OB
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）．
（2）存在直線l，使得||=||成立．理由如下：
設直線l的方程為y=kx+m，
由
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，化簡得3+4k2＞m2．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則
，．
若||=||成立，
即||2=||2，等價于．
所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2）?，
化簡得7m2=12+12k2．
將代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，
解得．
又由7m2=12+12k2≥12，得，
從而，解得或．
所以實數m的取值范圍是．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在直線l，使得|
OA
+
2
OB
OA
-
2
OB
設直線l的方程為y=kx+m，
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，化簡得3+4k2＞m2．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則
x
1
+
x
2
=
-
8
km
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
若|
OA
+
2
OB
OA
-
2
OB
即|
OA
+
2
OB
OA
-
2
OB
OA
?
OB
=
0
所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2）?
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
-
km
?
8
km
3
+
4
k
2
+
m
2
=
0
化簡得7m2=12+12k2．
將
k
2
=
7
12
m
2
-
1
7
12
m
2
-
1
解得
m
2
＞
3
4
又由7m2=12+12k2≥12，得
m
2
≥
12
7
從而
m
2
≥
12
7
m
≥
2
21
7
m
≤
-
2
21
7
所以實數m的取值范圍是
（
-
∞
，-
2
21
7
]
∪
[
2
21
7
，
+
∞
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：409引用：25難度：0.1
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