如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于A（-2，0），點B（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線上的一動點，且在直線BC的上方，當S_△MBC取得最大值時，求S_△MBC的最大值和點M的坐標；
（3）在直線BC的上方，拋物線上是否存在點M，使四邊形ABMC的面積為15？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：318引用：4難度：0.1

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1．已知二次函數y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁．
（1）求C₁關于點R（1，0）中心對稱的圖象C₂的函數解析式；
（2）在（1）的條件下，設拋物線C₁、C₂與y軸的交點分別為A、B，當AB=18時，求a的值．
發布：2025/5/28 7:0:1組卷：311引用：6難度：0.1
解析
2．已知二次函數y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a為正整數．
（1）若函數y的圖象與x軸相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（2）若a依次取1，2，…，2005時，函數y的圖象與x軸相交所截得的2005條線段分別為A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，試求這2005條線段長之和．
發布：2025/5/28 8:0:1組卷：134引用：1難度：0.3
解析

3．先閱讀短文，再回答短文后面的問題．
平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
下面根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程．
如圖，建立直角坐標系xOy,使x軸經過點F且垂直于直線l,垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合．設|KF|=p（p＞0），那么焦點F的坐標為（
p
2
，0），準線l的方程為x=-
p
2
．
設點M（x,y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d,由拋物線的定義，拋物線就是滿足|MF|=d的點M的軌跡．
∵|MF|=
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
，d=|x+
p
2
|∴
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
=|x+
p
2
|
將上式兩邊平方并化簡，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是（
p
2
，0），它的準線方程是x=-
p
2
．
一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同．所以拋物線的標準方程還有其它的幾種形式：y²=-2px,x²=2py,x²=-2py.這四種拋物線的標準方程，焦點坐標以及準線方程列表如下：

標準方程焦點坐標準線方程

y²=2px（p＞0）（
p
2
，
0
） x=-
p
2

y²=-2px（p＞0）（-
p
2
，
0
） x=
p
2

x²=2py（p＞0）（0，
p
2
） y=-
p
2

x²=-2py（p＞0）（0，-
p
2
） y=-
p
2

解答下列問題：
（1）①已知拋物線的標準方程是y²=8x,則它的焦點坐標是
，準線方程是

②已知拋物線的焦點坐標是F（0，-6），則它的標準方程是
．
（2）點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程．
（3）直線
y
=
3
x
+
b
經過拋物線y²=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長．

發布：2025/5/28 7:0:1組卷：267引用：1難度：0.3

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