如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F，∠EOB＜90°．將矩形ABCD沿EF折疊，點A的對應點為點H，點B的對應點為點G，GF交BD于點N，交AD于點P，連接GD．
（1）求證：AE=CF；
（2）求證：GD∥EF；
（3）如圖2，連接GO交AD于點M，連接MN．判斷GD，MN和EF的數量關系，并說明理由．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3），見解析．
（2）見解析；
（3）
1
MN
=
2
EF
+
1
GD
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/1 8:0:9組卷：187引用：3難度：0.3
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1．【實驗】（1）如圖①，點O為線段MN的中點，線段PQ與MN相交于點O，當OP=OQ時，四邊形PMQN的形狀為 ；
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四邊形
其理論依據是 ?
【探究】（2）如圖②，在平行四邊形ABCD中，點E是BC中點，過點E作AE的垂線交邊CD于點F，連結AF．試猜想AB，AF，CF三條線段之間的數量關系，并給予證明．
【應用】（3）如圖③，在△ABC中，點D為BC的中點，若∠BAD=90°，AD=2，AC=，求△ABC的面積．19發布：2025/5/22 15:0:2組卷：140引用：3難度：0.4 -
2．綜合與實踐．
綜合與實踐課上，老師與同學們以“特殊的三角形”為主題開展數學活動．
（1）操作判斷如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點P是直線AC上一動點．操作：連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉 90° 得到PD，連接DC，如圖2．根據以上操作，請判斷：如圖3，當點P與點A重合時，四邊形ABCD的形狀是 ．
（2）遷移探究
①如圖4，當點P與點C重合時，連接DB，則四邊形ABDC的形狀是
②當點P與點A，點C都不重合時，試猜想DC與BC的位置關系，并利用圖2證明你的猜想；
（3）拓展應用
當點P與點A，點C都不重合時，若AB=6，AP=5，請直接寫出CD的長．發布：2025/5/22 15:0:2組卷：102引用：2難度：0.2 -
3．（1）問題提出
如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D為邊AB上的一個動點，連接CD，則CD的最小長度為 ．
（2）問題探究
如圖2，在矩形ABCD中，四邊形EFGH為矩形的內接四邊形，點E，F，G，H分別在AD，AB，BC，CD上．FH為對角線，且滿足FH∥AD，若AD=6，AB=4，則四邊形EFGH的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）問題解決
如圖3，某果蔬基地規劃修建一片試驗區，并將試驗區劃分為四個區域．按照設計圖的思路，試驗區的平面示意圖為四邊形ABCD，∠ADC=90°，點O在四邊形ABCD的對角線AC上，且滿足OD=50m,CD=110m,OB∥AD，∠OBC=30°，設BO=x m,．S△ABC=ym2
①請寫出y關于x的函數關系式；
②由于果蔬基地占地有限，探究y是否存在最小值．若存在，求出y值；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/22 14:0:1組卷：268引用：2難度：0.1
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