已知F1（-c,0）、F2（c,0）是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦點，點M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是π2，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點，過P、Q兩點分別作橢圓E的切線l1，l2，且l1與l2交于點R，試問：當m變化時，點R是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
π
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）當m變化時，點R恒在一條定直線x=上．
證明：先證明橢圓E：（a＞b＞0）上一點M（x0，y0）的切線方程是，
當x0y0≠0時，設切線方程為：y-y0=k（x-x0），
與橢圓方程聯立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及，得（）2=0，
∴k=-，
∴切線方程是
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則l1的方程是，
l2的方程是，
聯立方程組，解得x=，
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴=，當m變化時，點R恒在一條定直線上，
2
2
（Ⅱ）當m變化時，點R恒在一條定直線x=
a
2
c
證明：先證明橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
當x0y0≠0時，設切線方程為：y-y0=k（x-x0），
與橢圓方程聯立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
a
y
0
b
k
+
b
x
0
a
∴k=-
b
2
x
0
a
2
y
0
∴切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則l1的方程是
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
l2的方程是
x
2
x
a
2
+
y
2
y
b
2
=
1
聯立方程組，解得x=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴
x
R
=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
a
2
c
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：54引用：3難度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
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