已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，左頂點為A，且|FA|=2+5，F到C的漸近線的距離為1，過點B（4，0）的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若直線MB，NB的斜率分別為k1，k2，判斷k1k2是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
|
FA
|
=
2
+
5
【考點】雙曲線的定點及定值問題．
【答案】（1）；
（2）k1k2為定值，證明如下：
設直線l：x=my+4，-2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯立方程組
得（m2-4）y2+8my+12=0，
所以，．
因為直線AP的方程為，
所以M的坐標為，同理可得N的坐標為．
因為，，
所以
=，
即k1k2為定值．
x
2
4
-
y
2
=
1
（2）k1k2為定值，證明如下：
設直線l：x=my+4，-2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯立方程組
x = my + 4 ， |
x 2 4 - y 2 = 1 ， |
所以
y
1
+
y
2
=
-
8
m
m
2
-
4
y
1
y
2
=
12
m
2
-
4
因為直線AP的方程為
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
所以M的坐標為
（
0
，
2
y
1
x
1
+
2
）
（
0
，
2
y
2
x
2
+
2
）
因為
k
1
=
2
y
1
x
1
+
2
-
4
=
-
y
1
2
（
x
1
+
2
）
k
2
=
2
y
2
x
2
+
2
-
4
=
-
y
2
2
（
x
2
+
2
）
所以
k
1
k
2
=
y
1
y
2
4
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
=
y
1
y
2
4
（
m
y
1
+
6
）
（
m
y
2
+
6
）
=
y
1
y
2
4
[
m
2
y
1
y
2
+
6
m
（
y
1
+
y
2
）
+
36
]
=
12
m
2
-
4
4
（
12
m
2
m
2
-
4
-
48
m
2
m
2
-
4
+
36
）
=
3
12
m
2
-
48
m
2
+
36
m
2
-
144
=
-
1
48
即k1k2為定值
-
1
48
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/20 8:0:8組卷：221引用：10難度：0.6
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