已知函數f（x）=-e^x-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，若函數g（x）=xe^x+f（x），求g（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a＞0時，若函數h（x）=f（x）+2e^x-ax恰有兩個不同的極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：
x
1
+
x
2
2
＜
ln
2
a
．

【答案】（Ⅰ）ex+y=0；
（Ⅱ）當

＜

時，函數g（x）的增區間為（-∞，ln2a）、（0，+∞），減區間為（ln2a，0）；
當

時，函數g（x）在R上單調遞增；
當

＞

時，函數g（x）的增區間為（-∞，0）、（ln2a，+∞），減區間為（0，ln2a）．
（Ⅲ）證明過程見解答．

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：454引用：2難度：0.3

相似題

1．已知函數f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數為f'（x）．
（1）當a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發布：2024/12/29 13:0:1組卷：279難度：0.4
解析
2．若函數
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：125引用：4難度：0.5
解析
3．定義：設f'（x）是f（x）的導函數，f″（x）是函數f'（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數f（x）既有極大值又有極小值
C．函數f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：184引用：7難度：0.5
解析

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1．已知函數f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數為f'（x）．（1）當a=1時，求f'（x）的零點；（2）若函數f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．