在平面直角坐標系xoy中，F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，圓Q過O點與F點，且圓心Q到拋物線C的準線的距離為32．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點，求△OAB的面積；
（3）已知拋物線上一點M（4，4），過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過定點？說明理由．
3
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）y2=4x；
（2）；
（3）設直線
，可得y2-4my-4t=0，則Δ=16m2+16t＞0（*）
設D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
==
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過定點（8，-4）．（定點（4，4）不滿足題意，故舍去）
（2）
4
3
3
（3）設直線
DE
：
x = my + t |
y 2 = 4 x |
設D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵
0
=
MD
?
ME
=
（
x
1
-
4
，
y
1
-
4
）
?
（
x
2
-
4
，
y
2
-
4
）
=
y
1
2
4
?
y
2
2
4
-
4
（
y
1
2
4
+
y
2
2
4
）
+
16
+
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
16
（
y
1
y
2
）
2
16
-
（
y
1
+
y
2
）
2
+
3
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
32
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過定點（8，-4）．（定點（4，4）不滿足題意，故舍去）
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：52引用：4難度：0.3
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-
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
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