如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（-2，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連AC、BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（備用公式：點A（x1，y1）與點B（x2，y2）的距離為（x1-x2）2+（y1-y2）2）
（1）求拋物線的表達式；
（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M（m,0），請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點M在運動過程中，平面內是否存在點D，使得以A、C、Q、D為頂點的四邊形是菱形．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
（
x
1
-
x
2
）
2
+
（
y
1
-
y
2
）
2
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）；
（2）PN=，當m=時，PN有最大值，最大值為；
（3）平面內存在點D，使得以A、C、Q、D為頂點的四邊形是菱形．點D的坐標為（3，5）或（，）．
y
=
-
1
2
x
2
+
1
2
x
+
3
（2）PN=
-
2
4
m
2
+
3
2
4
m
3
2
9
2
16
（3）平面內存在點D，使得以A、C、Q、D為頂點的四邊形是菱形．點D的坐標為（3，5）或（
26
2
-
2
-
26
2
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/30 12:30:2組卷：51引用：2難度：0.1
相似題
-
1．如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點，對稱軸為直線x=2．C（0，103）
（1）求此拋物線的表達式；
（2）點Q為對稱軸右側拋物線上一點，若以BQ為斜邊的等腰直角三角形PBQ的頂點P落在對稱軸x=2上，求點Q的坐標．發布：2025/5/31 13:30:2組卷：289引用：2難度：0.4 -
2．在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）請直接寫出點A，C，D的坐標；
（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標；
（3）如圖（2），點P為拋物線對稱軸上的動點，使得△ACP為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/31 14:30:1組卷：715引用：6難度：0.2 -
3．定義：與坐標軸不重合的直線l交x,y軸于A、B兩點（A、B不重合），若拋物線L過點A和點B，則稱此拋物線L為直線l的“和諧線”，如圖L1，L2均為直線l的“和諧線”．
（1）已知直線的解析式為y=-x+4，則下列拋物線是直線l的“和諧線”的有．①y=x2-5x+4
②y=2x2-7x-4
③y=-12x2+x+4
（2）已知直線y=kx+b的“和諧線”為，且直線與雙曲線y=-14x2+x-1交于點M，N，求線段MN的長．y=4x
（3）已知直線y=-cx+c（c≠0）的“和諧線”為y=ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求該“和諧線”在x軸上所截線段長d的取值范圍．發布：2025/5/31 13:0:2組卷：765引用：2難度：0.6