如圖1，在正方形ABCD中，P是邊BC上的動點，E在△ABP的外接圓上，且位于正方形ABCD的內部，EA=EP，連結AE，EP．
（1）求證：△PAE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，連結DE，過點E作EF⊥BC于點F，請探究線段DE與PF的數量關系，并說明理由；
（3）當點P是BC的中點時，DE=4．
①求BC的長；
②若點Q是△ABP外接圓上的動點，且位于正方形ABCD的外部，連結AQ．當∠PAQ與△ADE的一個內角相等時，求所有滿足條件的AQ的長．
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）結論：DE=PF，理由見解析部分；
（3）①8；
②4或12．
（2）結論：DE=
2
（3）①8
2
②4
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/5/9 8:0:9組卷：289引用：3難度：0.5
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1．小亮學習了圓周角定理的推論“圓內接四邊形對角互補”后，勇于思考大膽創新，并結合三角形的角平分線的性質進行了以下思考和發現：
（1）①如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠B=85°，則∠ADE=；
②如圖2，在△ABC中，BE，CE分別平分∠ABC和∠ACD，BE，CE相交于點E，∠A=42°，則∠E=°；
（2）小亮根據這個發現，又進行了以下深入研究：
如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑，AC=BC，點F是弧AD的中點，求∠E的度數[（1）中的結論可直接用]．
發布：2025/5/24 19:30:1組卷：127引用：1難度：0.4 -
2．如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AO平分∠BAC且交BC于點O，AB與⊙O相切于點D，OC交⊙O于點H，連接OD．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）延長DO、AC交于點E，若CE=OC，求證：OA=OE；
（3）在（2）的條件下，連接DH交AO于點K，若OK?AK=8-12，求⊙O的半徑并直接寫出DK?HK的值．3
發布：2025/5/24 19:30:1組卷：184引用：1難度：0.1 -
3．點E為正方形ABCD的邊CD上一動點，直線AE與BD相交于點F，與BC的延長線相交于點G．
（1）如圖①，若正方形的邊長為2，設DE=x,△DEG的面積為y,求y與x的函數關系；
（2）如圖②，求證：CF是△ECG的外接圓的切線；
（3）如果把正方形ABCD換成是矩形或菱形，（2）的結論是否仍然成立？
發布：2025/5/24 18:30:1組卷：91引用：1難度：0.1