已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（1，32），且其右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F重合，過點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OF上是否存在點(diǎn)N（n,0），使得QP?NP=PQ?NQ？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）過點(diǎn)P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E，試證明：直線AE過定點(diǎn)．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
QP
NP
PQ
NQ
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）；
（2）存在，n∈（0，）；
（3）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，
代入，得：
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
∵過點(diǎn)P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
∴由Δ=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，得：k∈（-），
設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），
則，，
則直線AE的方程為y-y3=，
令y=0得：x=-
=
=
=
==1．
∴直線AE過定點(diǎn)（1，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在，n∈（0，
1
4
（3）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，
代入
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
∵過點(diǎn)P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
∴由Δ=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，得：k∈（-
1
2
，
1
2
設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），
則
x
3
+
x
4
=
32
k
2
3
+
4
k
2
x
3
x
4
=
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
則直線AE的方程為y-y3=
y
3
+
y
4
x
3
-
x
4
（
x
-
x
3
）
令y=0得：x=-
y
3
?
x
3
-
x
4
y
3
+
y
4
+
x
3
=
x
3
y
4
+
x
4
y
3
y
3
+
y
4
=
x
3
?
k
（
x
4
-
4
）
+
x
4
?
k
（
x
4
-
4
）
k
（
x
3
+
x
4
-
8
）
=
2
x
3
x
4
-
4
（
x
3
+
x
4
）
x
3
+
x
4
-
8
=
2
?
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
4
?
32
k
2
3
+
4
k
2
32
k
2
3
+
4
k
2
-
8
∴直線AE過定點(diǎn)（1，0）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：162引用：5難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7