如圖1，已知拋物線y=-12x2+bx+32經過不同的三個點A（m,n），B（2-m,n），C（-1，0）（點A在點B的左邊）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，當點A位于x軸的上方，過點A作AP⊥AB交直線y=72x+72于點P，以AP，AB為鄰邊構造矩形PABQ，求該矩形周長的最小值，并求出此時點A的坐標；
（3）如圖3，點M是AB的中點，將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到新的拋物線，設新拋物線的頂點為D，點N是平移后的新拋物線上一動點．當以D、M、N為頂點的三角形是等腰直角三角形時，直接寫出所有點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標過程寫出來．
y
=
-
1
2
x
2
+
bx
+
3
2
y
=
7
2
x
+
7
2
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為：y=-x2+x+；
（2）矩形PABQ的周長最小為7．此時A（-，）；
（3）當D，M，N為頂點的三角形是等腰直角三角形時，點N的坐標為（4+，-）或（7，-5）或（5，1）．
1
2
3
2
（2）矩形PABQ的周長最小為7
3
4
1
2
7
8
（3）當D，M，N為頂點的三角形是等腰直角三角形時，點N的坐標為（4+
5
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：378引用：1難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求該拋物線的函數表達式及頂點C的坐標；
（2）設該拋物線上一動點P的橫坐標為t.
①在圖1中，當-3＜t＜0時，求△PBO的面積S與t的函數關系式，并求S的最大值；
②在圖2中，若點P在該拋物線上，點E在該拋物線的對稱軸上，且以A，O，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
③在圖3中，若P是y軸左側該拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P使得以點P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/26 7:0:2組卷：163引用：1難度：0.3 -
2．規定：如果兩個函數圖象上至少存在一組點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數互為“O—函數”．這組點稱為“XC點”．例如：點P（1，1）在函數y=x2上，點Q（-1，-1）在函數y=-x-2上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數y=x2和y=-x-2互為“O—函數”，點P與點Q則為一組“XC點”．
（1）已知函數y=-2x-1和y=-互為“O—函數”，請求出它們的“XC點”；6x
（2）已知函數y=x2+2x+4和y=4x+n-2022互為“O—函數”，求n的最大值并寫出“XC點”；
（3）已知二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）與y=2bx+1互為“O—函數”有且僅存在一組“XC點”，如圖，若二次函數的頂點為M，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=，過頂點M作x軸的平行線l,點P在直線l上，記P的橫坐標為-c2-2c+6c，連接OP，AP，BP．若∠OPA=∠OBP，求t的最小值．t發布：2025/5/26 7:30:2組卷：1091引用：4難度：0.3 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-2，5），與x軸相交于B（-1，0），C（3，0）兩點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D，若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的坐標；
（3）設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數表達式．發布：2025/5/26 7:30:2組卷：6166引用：8難度：0.2