市一中某數(shù)學興趣小組利用正方形硬紙片開展了一次活動，請認真閱讀下面的探究片段，完成提出的問題．四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是射線BC上的動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．【探究1】當點E是BC中點時，如圖1，發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE與EF所在的兩個三角形全等，但△ABE與△FCE顯然不全等，考慮到點E是BC的中點，取AB的中點H，連接EH，證明△AHE與△ECF全等即可．（無需證明）
【探究2】（1）如圖2，如果把“點E是BC的中點”改成“點E是邊BC上（不與點B、C重合）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程，如果不成立，也請說明理由．
（2）如圖3，如果點E是邊BC延長線上的任意一點，其他條件不變，請你畫出圖象，并判斷“AE=EF”是否成立？是是（填“是”或“否”），如果是，請簡述一下輔助線的作法；如果否，也請說明理由．
【探究3】連接AF交直線CD于點I，連接EI，試探究線段BE，EI，ID之間的數(shù)量關系，請在備用圖中作出圖形并直接寫出結論．
【探究4】當CE=2時，此時△EIF的面積為 1或51或5．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】是；1或5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：425引用：2難度：0.1
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點D是AC邊上的動點．
（1）如圖1，過點D作DG∥AB交BC于點G，以點D為圓心，DG長為半徑畫弧，交AB于點E，在EB上截取EF=ED，連接FG．證明：四邊形DEFG是菱形；
（2）在（1）條件下，求出能作出菱形時所對應CD長度的取值范圍；
（3）如圖2，連接BD，作DQ⊥BD交AB于點Q，求AQ的最大值．
發(fā)布：2025/5/22 5:0:1組卷：143引用：2難度：0.3 -
2．已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）如圖1，若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）如圖2，若DG=4，求△FCG的面積；
（3）當DG為何值時，△FCG的面積最小．發(fā)布：2025/5/22 6:0:1組卷：348引用：2難度：0.2 -
3．綜合與實踐
數(shù)學活動課上，老師讓同學們根據(jù)下面情境提出問題并解答．
問題情境：在?ABCD中，點P是邊AD上一點．將△PDC沿直線PC折疊，點D的對應點為E．
“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點P與點A重合，過點E作EF∥AD，與PC交于點F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．
數(shù)學思考：
（1）請你證明“興趣小組”提出的問題；
拓展探究：
（2）“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當點P為AD的中點時，延長CE交AB于點F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關系，并說明理由．
請你幫助他們解決此問題．
問題解決：
“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當點E恰好落在AB邊上時，AP=3，PD=4，DC=10．則AE的長為 ．（直接寫出結果）
發(fā)布：2025/5/22 6:0:1組卷：509引用：5難度：0.1