（理科）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=-4于點E，且AQ=λQB，AE=μEB．求證：λ+μ為定值，并計算出該定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
AQ
=
λ
QB
AE
=
μ
EB
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：由題意直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，∴Δ=48k2+16＞0
x1+x2=-，x1x2=
∵，∴λ=
∵，∴μ=
∴λ+μ=+=- = =0．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）證明：由題意直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，∴Δ=48k2+16＞0
x1+x2=-
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
∵
AQ
=
λ
QB
x
1
+
1
x
2
+
1
∵
AE
=
μ
EB
x
1
+
4
x
2
+
4
∴λ+μ=
x
1
+
1
x
2
+
1
x
1
+
4
x
2
+
4
2
x
1
x
2
+
5
（
x
1
+
x
2
）
+
8
（
x
2
+
1
）
（
x
2
+
4
）
2
×
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
+
5
×
8
k
2
1
+
4
k
2
+
8
（
x
2
+
1
）
（
x
2
+
4
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：63引用：2難度：0.3
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-
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
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（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72難度：0.7 -
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．5
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發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26難度：0.7