如圖，拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M′．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若直線(xiàn)AM′與此拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；
（3）是否存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/5/27 14:0:0組卷：3082引用：56難度：0.5

相似題

1．已知二次函數(shù)y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁．
（1）求C₁關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱(chēng)的圖象C₂的函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)拋物線(xiàn)C₁、C₂與y軸的交點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)AB=18時(shí)，求a的值．
發(fā)布：2025/5/28 7:0:1組卷：311引用：6難度：0.1
解析
2．已知二次函數(shù)y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a為正整數(shù)．
（1）若函數(shù)y的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）若a依次取1，2，…，2005時(shí)，函數(shù)y的圖象與x軸相交所截得的2005條線(xiàn)段分別為A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，試求這2005條線(xiàn)段長(zhǎng)之和．
發(fā)布：2025/5/28 8:0:1組卷：134引用：1難度：0.3
解析

3．先閱讀短文，再回答短文后面的問(wèn)題．
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．
下面根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，我們來(lái)求拋物線(xiàn)的方程．
如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線(xiàn)l,垂足為K，并使原點(diǎn)與線(xiàn)段KF的中點(diǎn)重合．設(shè)|KF|=p（p＞0），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
p
2
，0），準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-
p
2
．
設(shè)點(diǎn)M（x,y）是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d,由拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)就是滿(mǎn)足|MF|=d的點(diǎn)M的軌跡．
∵|MF|=
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
，d=|x+
p
2
|∴
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
=|x+
p
2
|
將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是（
p
2
，0），它的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-
p
2
．
一條拋物線(xiàn)，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同．所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式：y²=-2px,x²=2py,x²=-2py.這四種拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程列表如下：

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線(xiàn)方程

y²=2px（p＞0）（
p
2
，
0
） x=-
p
2

y²=-2px（p＞0）（-
p
2
，
0
） x=
p
2

x²=2py（p＞0）（0，
p
2
） y=-
p
2

x²=-2py（p＞0）（0，-
p
2
） y=-
p
2

解答下列問(wèn)題：
（1）①已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
，準(zhǔn)線(xiàn)方程是

②已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-6），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是
．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線(xiàn)l：x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）直線(xiàn)
y
=
3
x
+
b
經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

發(fā)布：2025/5/28 7:0:1組卷：267引用：1難度：0.3

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