已知二次函數f（x）=

1

3

x²+

2

3

x.數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n,S_n）（n∈N^*）在二次函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_na_n+1cos[（n+1）π]（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）在數列{a_n}中是否存在這樣一些項：

a

n

1

，

a

n

2

，

a

n

3

，…，

a

n

k

這些項都能夠
構成以a₁為首項，q（0＜q＜5）為公比的等比數列{

a

n

k

}？若存在，寫出n_k關于f（x）的表達式；若不存在，說明理由．