如圖，二次函數y=ax2+bx+4（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D；
?
（1）求二次函數的表達式及頂點D的坐標；
（2）若點P為直線BC上方的拋物線上的一點，過點P作垂直于x軸的直線l交直線BC于點F．是否存在點P，使四邊形OCPF為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若N為拋物線上一個動點，連接NC，過點N作NQ⊥NC交拋物線對稱軸于點Q，當tan∠NCQ=1時，請直接寫出點N的橫坐標．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+3x+4，頂點D（，）；
（2）存在，點P的坐標為（2，6）；
（3）點N的橫坐標為1+或1-或2-或2+．
3
2
25
4
（2）存在，點P的坐標為（2，6）；
（3）點N的橫坐標為1+
10
2
10
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2
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/5 8:0:7組卷：172引用：1難度：0.1
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1．根據以下素材，探索完成任務．
如何設計噴水裝置的高度？ 素材1 圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心7m處達到最高，高度為5m.水池中心處有一個圓柱形蓄水池，其底面直徑CD為12m,高CF為1.8米． 
素材2 如圖3，擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置OP （OP⊥CD），并從點P向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱，且滿足以下條件：
①水柱的最高點與點P的高度差為0.8m；
②不能碰到圖2中的水柱；
③落水點G，M的間距滿足：GM：FM=2：7．
問題解決 任務1 確定水柱形狀 在圖2中以點O為坐標原點，水平方向為x軸建立直角坐標系，并求左邊這條拋物線的函數表達式． 任務2 探究落水點位置 在建立的坐標系中，求落水點G的坐標． 任務3 擬定噴水裝置的高度 求出噴水裝置OP的高度． 發布：2025/5/23 4:30:1組卷：756引用：3難度：0.3 -
2．已知拋物線y=ax2+bx 經過點A（2，0）與點（-1，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線y=kx+2與拋物線y=ax2+bx交于點M，N（點M，點N分別在第一、二象限）．
①如圖1，連接OM，當∠OMN=45°時，求k的值；
②如圖2，直線AN交y軸于點E，直線AM交y軸于點F，當時，求k的值．EF=57發布：2025/5/23 4:30:1組卷：298引用：1難度：0.2 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點C，其對稱軸為直線x=2，結合圖象分析如下結論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④若一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點A，則點E（k,b）在第四象限；⑤點M是拋物線的頂點，若CM⊥AM，則a=．其中正確的有（ ）66發布：2025/5/23 5:0:2組卷：3755引用：22難度：0.2