如圖，直線y=-x+4與x軸，y軸分別交于點B，C，點A在x軸負半軸上，且OA=12OB，拋物線y=ax2+bx+4經過A，B，C三點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，設點P的橫坐標為m,過點P作PD⊥BC，垂足為點D，用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD的最大值．
（3）設點M為x軸上一動點，當直線CM與直線BC所夾的銳角∠BCM=30°時，直接寫出點M的坐標．
OA
=
1
2
OB
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+4；
（2）PD=-（m-2）2+，當m=2時，PD最大，最大值為；
（3）點M的坐標為（8-4，0）或（8+4，0）．
1
2
（2）PD=-
2
4
2
2
（3）點M的坐標為（8-4
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：100引用：2難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線
與x軸交于O，A兩點，過點A的直線y=-34x2+3x與y軸交于點C，交拋物線于點D．y=-34x+3
（1）直接寫出點A，C，D的坐標；
（2）如圖1，點B是直線AC上方第一象限內拋物線上的動點，連接AB和BD，求△ABD面積的最大值；
（3）如圖2，若點M在拋物線上，點N在x軸上，當以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．發布：2025/6/8 20:30:2組卷：429引用：6難度：0.5 -
2．在平面直角坐標系中，設二次函數y=-（x-m）2+1-2m（m是實數）．
（1）當m=-1時，若點A（2，n）在該函數圖象上，求n的值．
（2）已知A（2，-2），B（1，2），C（1，-1），從中選擇一個點作為該二次函數圖象的頂點，判斷此時（2，-2）是否在該二次函數的圖象上，
（3）已知點P（1-a,p），Q（2m+1-a,p）都在該二次函數圖象上，求證：p≤2．發布：2025/6/8 23:30:1組卷：930引用：3難度：0.4 -
3．如圖：已知點A（1，2），拋物線L：y=2（x-t）（x+t-4）（t為常數）的頂點為P，且與y軸交于點C．
（1）若拋物線L經過點A，求L的解析式，并直接寫出此時的頂點坐標和對稱軸．
（2）設點P的縱坐標為yp，求yp與t的關系式，當yp取最大值時拋物線L上有兩點（x1，y1）、（x2，y2）當x1＞x2＞3時．y1y2（填“＞、=、＜”）
（3）設點C的縱坐標為yc，當yc取得最大值時：
①求P、C兩點間的距離．
②關于x的一元二次方程2（x-t）（x+t-4）=8的解為 ．（直接寫出答案）發布：2025/6/9 0:0:2組卷：22引用：1難度：0.4