已知A（1，2）是離心率為22的橢圓E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）上的一點，過A作兩條直線交橢圓于B、C兩點，若直線AB、AC的傾斜角互補．
（1）求橢圓E的方程；
（2）試證明直線BC的斜率為定值，并求出這個定值；
（3）△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值？若不存在，說明理由．
2
2
2
y
2
a
2
x
2
b
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：設直線AB的方程為，代入橢圓方程可得（k2+2）x2-x+（）=0，∵x=1是方程的一個實根，
∴由韋達定理得，1+xB=，故xB=，
∴=，
∴B（，），
∵AB、AC的傾斜角互補，故其斜率互為相反數，用-k代替k可得
C（，），∴==；
（3）存在，．
y
2
4
+
x
2
2
=
1
（2）證明：設直線AB的方程為
y
-
2
=
k
（
x
-
1
）
2
k
（
k
-
2
）
k
2
-
2
2
k
-
2
∴由韋達定理得，1+xB=
2
k
（
k
-
2
）
k
2
+
2
k
2
-
2
2
k
-
2
k
2
+
2
∴
y
B
=
k
（
x
B
-
1
）
+
2
-
2
k
2
-
4
k
+
2
2
k
2
+
2
∴B（
k
2
-
2
2
k
-
2
k
2
+
2
-
2
k
2
-
4
k
+
2
2
k
2
+
2
∵AB、AC的傾斜角互補，故其斜率互為相反數，用-k代替k可得
C（
k
2
+
2
2
k
-
2
k
2
+
2
-
2
k
2
+
4
k
+
2
2
k
2
+
2
k
BC
=
y
B
-
y
C
x
B
-
x
C
8
k
4
2
k
2
（3）存在，
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：65引用：2難度：0.3
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