已知函數
f
（
x
）
=
（
x
+
a
）
lnx
+
a
+
1
x
．
（1）若函數f（x）在點（e,f（e））處的切線斜率為0，求a的值；
（2）當a=1時．
（ⅰ）設函數
G
（
x
）
=
xf
′
（
x
）
f
（
x
）
，求證：y=f（x）與y=G（x）在[1，e]上均單調遞增；
（ⅱ）設區間I∈[x₀，x₀+1]（其中I?[1，e]，證明：存在實數λ＞1，使得函數F（x）=x²（f（x）-λf（x₀））在區間I上總存在極值點．

【答案】（1）a=e-1；
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：178引用：1難度：0.4

相似題

1．已知函數f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數為f'（x）．
（1）當a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4
解析
2．若函數
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：124引用：4難度：0.5
解析
3．定義：設f'（x）是f（x）的導函數，f″（x）是函數f'（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數f（x）既有極大值又有極小值
C．函數f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：183引用：7難度：0.5
解析

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