如圖，△ABC中，AB=AC，點D為△ABC內一點，其中AD平分∠BAC且∠CBD=30°，點E為AC中點，EF⊥AC交BD延長線于點F，連接AF、CF．
（1）求∠ADF的大小；
（2）求證：△ACF是等邊三角形；
（3）猜想AD、BD、DF的數量關系并說明理由．

【答案】（1）60°；
（2）證明見解析；
（3）DF=AD+BD，理由見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：505引用：1難度：0.3

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1．（1）如圖1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分別以AB，BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點F．直接寫出線段DF與EF的數量關系．
（2）如圖2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其它條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想，并加以證明；
（3）如圖3，∠ADB=∠BEC=2∠ABC，若原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想，并加以證明．
發布：2025/6/20 2:30:1組卷：109引用：1難度：0.3
解析
2．如圖1：AC∥EF，AC=EF，AE=BD．
求證：△ABC≌△EDF．
如圖2：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．
求證：△AED≌△BFC．
如圖3：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE．求證：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE．
發布：2025/6/20 4:30:2組卷：11引用：1難度：0.4
解析
3．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°．點P在線段BC上，延長BC至點Q，使得CQ=CP，連接AP，AQ．過點B作BD⊥AQ于點D，交AP于點E，交AC于點F．K是線段AD上的一個動點（與點A，D不重合），過點K作GN⊥AP于點H，交AB于點G，交AC于點M，交FD的延長線于點N．
（1）依題意補全圖1；
（2）求證：NM=NF；
（3）若AM=CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數量關系，并證明．
發布：2025/6/20 3:30:1組卷：1339引用：5難度：0.2
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