如圖，已知拋物線y=13x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（-9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點 E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；
（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
1
3
x
2
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=x2+2x+1；
（2）P（-，-）；
（3）存在直線AC上的點Q，使以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，Q坐標分別是Q1（-4，1）、Q2（3，1）．
1
3
（2）P（-
9
2
5
4
（3）存在直線AC上的點Q，使以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，Q坐標分別是Q1（-4，1）、Q2（3，1）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1580引用：9難度：0.2
相似題
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1．我們不妨約定：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，其中C為頂點，當△ABC為等腰直角三角形時，我們稱二次函數為“等腰直角函數”．
（1）證明y=為“等腰直角函數”；12x2-3x+52
（2）如圖1，在（1）的“等腰直角函數”圖象中，過AB中點F的直線l1與二次函數相交于D，E兩點，求△CDE面積的最小值；
（3）如圖2，M、N為“等腰直角函數”y=-2上不重合的兩個動點，且關于過原點的直線l2對稱，當點M的橫坐標為1時，求出點N的坐標．12x2
發布：2025/5/21 17:30:1組卷：550引用：2難度：0.3 -
2．如圖，二次函數y=
x2+bx-4的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），且B（8，0），與y軸交于點C，點P是第四象限拋物線上一點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E．14
（1）填空：b=；
（2）若△CPE是以PE為底邊的等腰三角形，求點P的坐標；
（3）連接AC，過點P作直線l∥AC交y軸正半軸于點F．若OD=2OF，求點P的橫坐標．
?發布：2025/5/21 16:30:2組卷：317引用：1難度：0.3 -
3．如圖1，拋物線y=-
x2+bx+c交x軸于A，B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為線段BC上的一個動點，過點D作EF⊥x軸于點E，交拋物線于點F，設E點的坐標為E（m,0）．13
?（1）求拋物線的表達式；
（2）當m為何值時，DF有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，在（2）的條件下，直線EF上有一動點Q，連接QO，將線段QO繞點Q逆時針旋轉90°，使點O的對應點P恰好落在該拋物線上，請直接寫出QP的函數表達式．（直接寫出結果）
發布：2025/5/21 17:0:2組卷：183引用：1難度：0.3