【問題提出】
（1）如圖1，∠AOB=45°，在∠AOB內部有一點P，M、N分別是OA、OB上的動點，分別作點P關于邊OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1，P2與OA、OB相交于M、N，則此時△PMN的周長最小，且順次連接O，P1，P2后△OP1P2的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關于邊OA、OB的對稱點分別為P1，P2，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，PM=P1M，PN=P2N．
∴C△PMN=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
即△PMN周長的最小值為P1P2．
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=90°．
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
學以致用：若∠AOB=30°，在∠AOB內部有一點P，分別作點P關于邊OA、OB的對稱點P1，P2，順次連接O，P1，P2，則△OP1P2的形狀是 等邊等邊三角形．
（2）【問題探究】如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，點D是BC的中點，若AD=h,請用含有h的代數式表示△ABC的面積．
（3）【問題解決】如圖3，在四邊形ABCD內有一點P，點P到頂點B的距離為10，∠ABC=60°，點M、N分別是AB、BC邊上的動點，順次連接P、M、N，使△PMN在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使△PMN在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出△PMN的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】等邊
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/18 19:0:1組卷：203引用：2難度：0.2
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側時，BD與CF的數量關系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數量關系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數量關系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關系：．12發布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內一點，F是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5