（1）如圖1，點P是等邊△ABC內一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．
分析：要直接求∠APB的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內．
解：如圖2，作∠PAD=60°使AD=AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．
∴PDPD=AD=AP=3，∠ADP=∠PAD=60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB，∠BAC=60°∴∠BAP=∠CAD∠CAD
∴△ABP≌△ACD
∴BP=CD=4，∠APB∠APB=∠ADC
∵在△PCD中，PD=3，PC=5，CD=4，PD2+CD2=PC2
∴∠PDC=9090°
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°
（2）如圖3，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點P是△ABC內一點，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數．
（3）拓展應用．如圖（4），△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是△ABC內部的任意一點，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為4141．
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【考點】幾何變換綜合題．
【答案】PD；∠CAD；∠APB；90；
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：2997引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
，點D為平面內任意一點，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連接AE．BC=25
（1）若點D為△ABC內部任意一點時．
①如圖1，判斷線段AE與BD的數量關系并給出證明；
②如圖2，連接DE，當點E，D，B在同一直線上且BD=2時，求線段CD的長；
（2）如圖3，直線AE與直線BD相交于點P，當AD=AC時，延長AC到點F，使得CF=AC，連接PF，請直接寫出PF的取值范圍．
發布：2025/5/22 2:0:8組卷：560引用：1難度：0.3 -
2．如圖，△ABC、△ADE均為等邊三角形，BC=6，AD=4．將△ADE繞點A沿順時針方向旋轉，連接BD、CE．
（1）在圖①中證明△ADB≌△AEC；
（2）如圖②，當∠EAC=90°時，連接CD，求△DBC的面積；
（3）在△ADE的旋轉過程中，直接寫出△DBC的面積S的取值范圍．發布：2025/5/22 1:0:1組卷：651引用：5難度：0.2 -
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DE，CD，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想：
圖1中，線段PM與PN的數量關系是 ，位置關系是 ；
（2）探究證明：
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，PM，PN，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸：
若AD=4，AB=10，△ADE繞點A在平面內旋轉過程中，請求出△PMN的面積取得最大值時CD的長．發布：2025/5/22 2:0:8組卷：310難度：0.1