英國數學家布魯克?泰勒（Brook Taylor,1685.8-1731.11）以發現泰勒公式和泰勒級數而聞名于世．根據泰勒公式，我們可知：如果函數f（x）在包含x0的某個開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，那么對于?x∈（a,b），有f（x）=f（x0）0!+f′（x0）1!（x-x0）+f″（x0）2!（x-x0）2+…+f（n）（x0）n!（x-x0）n+Rn（x），其中，Rn（x）=f（n+1）（?）（n+1）!（x-x0）（n+1）（此處?介于x0和x之間）．
若取x0=0，則f（x）=f（0）0!+f′（0）1!（x）+f″（0）2!（x）2+…+f（n）（0）n!（x）n+Rn（x），其中，Rn（x）=f（n+1）（?）（n+1）!（x）（n+1）（此處?介于0和x之間）稱作拉格朗日余項．此時稱該式為函數f（x）在x=0處的n階泰勒公式，也稱作f（x）的n階麥克勞林公式．
于是，我們可得e=1+11!+12!+…+1n!+e?（n+1）!（此處?介于0和1之間）．若用3（n+1）!近似的表示e的泰勒公式的拉格朗日余項Rn（x）=e?（n+1）!，當Rn（x）不超過12500時，正整數n的最小值是（ ）
f
（
x
0
）
0
!
f
′
（
x
0
）
1
!
f
″
（
x
0
）
2
!
f
（
n
）
（
x
0
）
n
!
f
（
n
+
1
）
（
?
）
（
n
+
1
）
!
f
（
0
）
0
!
f
′
（
0
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1
!
f
″
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0
）
2
!
f
（
n
）
（
0
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n
!
f
（
n
+
1
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（
?
）
（
n
+
1
）
!
1
1
!
1
2
!
1
n
!
e
?
（
n
+
1
）
!
3
（
n
+
1
）
!
e
?
（
n
+
1
）
!
1
2500
【考點】利用導數研究函數的單調性；基本初等函數的導數．
【答案】C
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：125引用：2難度：0.8
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