如圖，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、C，經過A、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的負半軸上另一交點為B，且tan∠CBO=3．
（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點D的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上求一點M，使得△ADM的面積與△ABC的面積相等，求M點的坐標；
（3）若點P是射線BD上一點，且以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）該拋物線的解析式為y=x2+4x+3，頂點D（-2，-1）；
（2）M（-2，5）或（-2，-7）；
（3）點P的坐標為（-，-）或（-4，-3）時，以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似．
（2）M（-2，5）或（-2，-7）；
（3）點P的坐標為（-
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3
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：178引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+c經過A（-1，0），B（5，0），C（0，
）三點，直線DF為該拋物線的對稱軸，連接線段AC，∠CAB的平分線AE交拋物線C1于點E．3
（1）求拋物線C1的表達式；
（2）如圖1，作點C關于x軸的對稱點C′，將原拋物線沿對稱軸向下平移經過點C′得到拋物線C2，在射線AE上取點Q，連接CQ，將射線QC繞點Q逆時針旋轉120°交拋物線C2于點P，當△CAQ為等腰三角形時，求點P的橫坐標；
（3）如圖2，將拋物線C1沿一定方向平移，使頂點D′落在射線AE上，平移后的拋物線C3與線段CB相交于點M、N，線段CB與DF相交于點Q，當點Q恰好為線段MN的中點時，求拋物線C3的頂點坐標．
發布：2025/5/21 19:30:2組卷：1035引用：2難度：0.1 -
2．如圖①，在平面直角坐標系xOy中，直線y=
x與拋物線L1：y=ax2-2x（a＞0）在第一象限交于點A，點P為線段OA上一點（不含端點），過點P作直線l∥y軸，分別交x軸，拋物線L1于點M，Q．12
（1）若點A的橫坐標為2，求a的值；
（2）過點A作AN⊥l,垂足為N，求證：PQ=a?OM?AN；
（3）如圖②，若過點Q的拋物線L2：y=ax2-4x+b與直線y=x交于點B，C（點B在C的左側），求證：PB?PC=PO?PA．12
發布：2025/5/21 20:30:1組卷：372引用：1難度：0.2 -
3．二次函數y=ax2+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求該二次函數解析式；
（2）如圖1，第一象限內該二次函數圖象上有一動點P，連接BP，CP，求△BCP面積的最大值；
（3）如圖2，將該二次函數圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數圖象如圖2所示，若直線y=x+m與新函數圖象恰好有三個公共點時，則m的值為 ．發布：2025/5/21 20:30:1組卷：278引用：2難度：0.3