如圖1，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng)，易知AE=2c,這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
請(qǐng)解決下列問題：
（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；
（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有實(shí)數(shù)根；
（3）如圖1，若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是62，求△ABC面積；
（4）如圖2，△ABC的三邊分別為a,b,c,∠BCA=60°，且2b＞a.求證：關(guān)于x的一元二次方程3ax2+22cx+2b-a=0必有實(shí)數(shù)根．
2
2
2
2
2
3
a
x
2
+
2
2
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）3x2+5x+4=0（答案不唯一）；
（2）證明見解答過程；
（3）1；
（4）證明見解答過程．
2
（2）證明見解答過程；
（3）1；
（4）證明見解答過程．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/9 20:0:11組卷：186引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），將該長(zhǎng)方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）證明：EO=EB；
（Ⅱ）點(diǎn)P是直線OB上的任意一點(diǎn)，且△OPC是等腰三角形，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）點(diǎn)M是OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上任意一點(diǎn)，若存在這樣的點(diǎn)M、N，使得AM+MN最小，請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值．發(fā)布：2025/6/17 9:0:1組卷：305引用：2難度：0.3 -
2．請(qǐng)問讀下列材料，并解答相應(yīng)的問題
在Rt△ABC中、如果銳角A確定，那么角A的對(duì)邊與鄰邊的比值隨之確定，這個(gè)比叫做角A的正切，記作tanA，這是我們熟悉的三角函數(shù)中關(guān)于正切的定義．你不知道的是，世界上最早的正切函數(shù)表是由我國(guó)唐代一位叫做僧一行（683-727）的僧人在其所著《大衍歷》中首次創(chuàng)作的．他通過某地影長(zhǎng)的觀測(cè)，求人陽天頂距進(jìn)而求出該地各節(jié)氣初日影長(zhǎng)的方法，并為此編制了0度到80度的正切函數(shù)表．
我們摘取了部分正切函數(shù)表，如圖所示，當(dāng)角的度數(shù)是63.2度時(shí)，我們查表可知其對(duì)應(yīng)的正切值為1.97，反之，如果已知一個(gè)角的正切值1.97，則這個(gè)角的度數(shù)是63.2度．
現(xiàn)已知矩形ABCD中，AD=4、AB=8，AC是對(duì)角線，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、B重合），點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與A、C重合）∠DPE=90°．角度 正切值 63.2 1.97 63.3 1.98 63.4 1.99 63.5 2.00 63.6 2.01 63.7 2.02
①若AE=AD，∠DPE=90°，測(cè)得∠DEP=63.5°，則查表可知tan∠DEP=，此時(shí)可求出線段PE=．（直接寫出答案）
②若AE=3，∠DPE=90°，若此時(shí)點(diǎn)P恰好是AC中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出tan∠DEP=．
③若AE的值不是3，那么在變化過程中，tan∠DEP是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/6/17 10:0:1組卷：58引用：1難度：0.4 -
3．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OACB的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，已知OA=3，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，1），若連接CD，則CD=5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段A-C-B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)E落在x軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的t值．發(fā)布：2025/6/17 10:30:2組卷：135引用：3難度：0.1