已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為22，點Q（b ， ab）在橢圓上，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P，M，N為橢圓C上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明四邊形OPMN的面積S為定值，并求該定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
Q
（
b
，
a
b
）
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：當直線PN的斜率k不存在時，PN方程為：或，
從而有，
所以四邊形OPMN的面積為
；
當直線PN的斜率k存在時，
設直線PN方程為：y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；
將PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以，，
，
由得：，
將M點坐標代入橢圓C方程得：m2=1+2k2；
點O到直線PN的距離為，
，
四邊形OPMN的面積為
．
綜上，平行四邊形OPMN的面積S為定值．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）證明：當直線PN的斜率k不存在時，PN方程為：
x
=
2
x
=
-
2
從而有
|
PN
|
=
2
3
所以四邊形OPMN的面積為
S
=
1
2
|
PN
|
?
|
OM
|
=
1
2
×
2
3
×
2
2
=
2
6
當直線PN的斜率k存在時，
設直線PN方程為：y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；
將PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
x
1
?
x
2
=
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
y
1
+
y
2
=
k
（
x
1
+
x
2
）
+
2
m
=
2
m
1
+
2
k
2
由
OM
=
OP
+
ON
M
（
-
4
km
1
+
2
k
2
，
2
m
1
+
2
k
2
）
將M點坐標代入橢圓C方程得：m2=1+2k2；
點O到直線PN的距離為
d
=
|
m
|
1
+
k
2
|
PN
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
四邊形OPMN的面積為
S
=
d
?
|
PN
|
=
|
m
|
?
|
x
1
-
x
2
|
=
1
+
2
k
2
?
|
x
1
-
x
2
|
=
16
k
2
-
8
m
2
+
32
=
2
6
綜上，平行四邊形OPMN的面積S為定值
2
6
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/5 11:0:15組卷：718引用：7難度：0.1
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