拋物線y=-13x2+bx+c交x軸于A（-3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設M點的坐標為M（m,0），請用含m的代數式表示線段PQ的長，并求出當m為何值時，PQ有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）的條件下，直線PM上有一動點R，連接RO，將線段RO繞點R逆時針旋轉90度，使點O的對應點T恰好落在該拋物線上，直接寫出點R的坐標．
y
=
-
1
3
x
2
+
bx
+
c
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）；
（2）m=2時，PQ有最大值，最大值為；
（3）（1，3）或；
（4）（2，2）或（2，-8）．
y
=
-
1
3
x
2
+
1
3
x
+
4
（2）m=2時，PQ有最大值，最大值為
4
3
（3）（1，3）或
（
5
2
2
，
4
-
5
2
2
）
（4）（2，2）或（2，-8）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：528引用：4難度：0.4
相似題
-
1．如圖，拋物線y=
x2-2x-6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．12
（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；
（2）若點P是拋物線BC段上的一點，當△PBC的面積最大時求出點P的坐標，并求出△PBC面積的最大值；
（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/6/6 2:30:2組卷：615引用：5難度：0.1 -
2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線
與直線AB交于點A（0，-3），B（4，0）．y=34x2+bx+c
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）點P是直線AB下方拋物線上一點，過點P作y軸的平行線，交AB于點E，過點P作AB的垂線，垂足為點F，求△PEF周長的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）中△PEF取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移3個單位，點Q為點P的對應點，點N為原拋物線對稱軸上一點．在平移后拋物線上確定一點M，使得以點B，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點M的坐標，并寫出求解點M的坐標的其中一種情況的過程．發布：2025/6/6 1:30:1組卷：517引用：5難度：0.1 -
3．我們約定[a,-b,c]為二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的“相關數”．
特例感知
“相關數”為[1，4，3]的二次函數的解析式為y1=x2-4x+3；
“相關數”為[2，5，3]的二次函數的解析式為y2=2x2-5x+3；
“相關數”為[3，6，3]的二次函數的解析式為y3=3x2-6x+3；
（1）下列結論正確的是 （填序號）．
①拋物線y1，y2，y3都經過點（0，3）；
②拋物線y1，y2，y3與直線y=3都有兩個交點；
③拋物線y1，y2，y3有兩個交點．
形成概念
把滿足“相關數”為[n,n+3，3]（n為正整數）的拋物線yn稱為“一簇拋物線”，分別記為y1，y2，y3，…，yn．拋物線yn與x軸的交點為An，Bn．
探究問題
（2）①“一簇拋物線”y1，y2，y3，…，yn都經過兩個定點，這兩個定點的坐標分別為 ．
②拋物線yn的頂點為Cn，是否存在正整數n,使△AnBnCn是直角三角形？若存在，請求出n的值；若不存在，請說明理由．
③當n≥4時，拋物線yn與x軸的左交點An，與直線y=3的一個交點為Dn，且點Dn不在y軸上．判斷AnAn+1和DnDn+1是否相等，并說明理由．發布：2025/6/5 23:0:2組卷：359引用：5難度：0.1