已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距為26，且過點A（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若不經過點A的直線l：y=kx+m與C交于P，Q兩點，且直線AP與直線AQ的斜率之和為0，證明：直線PQ的斜率為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
6
【答案】（Ⅰ） 橢圓C的方程為=1；
（Ⅱ）證明：設點P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由
，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-8=0，（*）．
則，，
因為kPA+kQA=0，即=-，
化簡得x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4m+4=0．（**）
代入得--4m+4=0，
整理得（2k-1）（m+2k-1）=0，
所以k=或m=1-2k．
若m=1-2k，可得方程（*）的一個根為2，不合題意．
所以直線PQ的斜率為定值，該值為．
x
2
8
+
y
2
2
（Ⅱ）證明：設點P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 2 = 1 |
則
x
1
+
x
2
=
-
8
km
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
4
m
2
-
8
4
k
2
+
1
因為kPA+kQA=0，即
y
1
-
1
x
1
-
2
y
2
-
1
x
2
-
1
化簡得x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4m+4=0．（**）
代入得
2
k
（
4
m
2
-
8
）
4
k
2
+
1
8
km
（
m
-
1
-
2
k
）
4
k
2
+
1
整理得（2k-1）（m+2k-1）=0，
所以k=
1
2
若m=1-2k，可得方程（*）的一個根為2，不合題意．
所以直線PQ的斜率為定值，該值為
1
2
【解答】
【點評】
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