雙曲函數是一類與常見的三角函數類似的函數，最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數和雙曲余弦函數（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關）．記雙曲正弦函數為f（x），雙曲余弦函數為g（x），已知這兩個最基本的雙曲函數具有如下性質：
①定義域均為R，且f（x）在R上是增函數；
②f（x）為奇函數，g（x）為偶函數；
③f（x）+g（x）=ex（常數e是自然對數的底數，e=2.71828?）．
利用上述性質，解決以下問題：
（1）求雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的解析式；
（2）證明：對任意實數x,[f（x）]2-[g（x）]2為定值；
（3）已知m∈R，記函數y=2m?g（2x）-4f（x），x∈[0，ln2]的最小值為φ（m），求φ（m）．
【考點】函數的最值．
【答案】（1），；
（2）證明見解析；
（3）
．
f
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
2
g
（
x
）
=
e
x
+
e
-
x
2
（2）證明見解析；
（3）
φ
（
m
）
=
17 m 4 - 3 ， m ≤ 2 3 |
2 m - 1 m ， m ＞ 2 3 |
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：115引用：4難度：0.5
相似題
-
1．如圖，在△ABC中，AH為BC邊上的高線．P為三角形內一點，由P向三角形三邊作垂線，垂足分別為D，E，F，已知|AH|，|AC|，|BC|，|AB|依次構成公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求T=|PD|2+|PE|2+|PF|2的最小值．發布：2025/1/24 8:0:2組卷：58引用：1難度：0.9 -
2．已知函數f（x）=loga（1-x）+loga（3+x）（a＞0且a≠1）在定義域內存在最大值，且最大值為2，g（x）=
，若對任意x1∈[-1，m?2x-12x]，存在x2∈[-1，1]，使得f（x1）≥g（x2），則實數m的取值可以是（ ）12發布：2024/12/29 13:30:1組卷：134引用：3難度：0.5 -
3．已知f（x）=|lnx|，x1，x2是方程f（x）=a（a∈R）的兩根，且x1＜x2，則
的最大值是 ．ax1x22發布：2024/12/29 13:30:1組卷：124引用：4難度：0.5