一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30厘米的正方形，再四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長是4a（cm），寬是3a（cm），這個無蓋鐵盒各個面（僅指外表面）的面積之和稱為鐵盒的全面積．
（1）請計算圖1中原長方形鐵皮的面積．（用a的代數式表示）
（2）若要在該無蓋鐵盒的各個外表面上漆某種油漆，每元錢可漆的面積為

a

50

（cm²），則油漆這個鐵盒共需要多少錢（用a的代數式表示）？
（3）在前面計算的基礎上，若該鐵盒的底面積是全面積的

3

4

時，計算a的值；
（4）是否存在一個正整數a,使得鐵盒的全面積是底面積的正整數倍？若存在，請直接寫出這個a,若不存在，請簡要說明理由．