某班在“圖形與坐標”的主題學習中，第四學習小組提出如下背景“如圖，在平面直角坐標系中，將一個邊長為2的等邊三角形ABC沿x軸平移（邊AB在x軸上，點C在x軸上方），其中A（a,0），三角形ABC與反比例函數y=

2

3

x

（x＞0）交于點D，E兩點（點D在點E左邊）”，讓其他小組提出問題，請你解答：
（1）第一小組提出“當a=2時，求點D的坐標”；
（2）第二小組提出“若AD=CE，求a的值”；
（3）第三小組提出“若將點E繞點A逆時針旋轉60°至點E′，點E′恰好也在y=

2

3

x

（x＞0）上，求a的值”．