已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點P（x0，y0）（x0≠0）的切線方程為y-y0=2ax0（x-x0）（a為常數(shù)）．
（1）求拋物線方程；
（2）斜率為k1的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k2的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0，λ=-1），若BM=λMA，求證：線段PM的中點在y軸上；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)λ=1，k1＜0時，若點P的坐標(biāo)為（1，-1），求：∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標(biāo)的取值范圍．
BM
MA
【考點】直線與拋物線的綜合．
【答案】（1）y=ax2（a＜0）；
（2）證明：直線PA的方程為y-y0=k1（x-x0），
由
，得ax2-k1x+k1x0-y0=0，
∴．
同理，可得．
∵k2+λk1=0，
∴k2=-λk1，．
又=λ（λ≠0，λ≠1），
∴xM-x0=λ（xA-xM），．
∴線段PM的中點在y軸上．
（3）．
（2）證明：直線PA的方程為y-y0=k1（x-x0），
由
y = a x 2 |
y - y 0 = k 1 （ x - x 0 ） |
∴
x
A
+
x
0
=
k
1
a
，
x
A
=
k
1
a
-
x
0
同理，可得
x
B
=
k
2
a
-
x
0
∵k2+λk1=0，
∴k2=-λk1，
x
B
=
-
λ
k
1
a
-
x
0
又
BM
MA
∴xM-x0=λ（xA-xM），
x
M
=
λ
x
A
+
x
B
1
+
λ
∴線段PM的中點在y軸上．
（3）
（
-
∞
，-
1
）
∪
（
-
1
，-
1
4
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：17引用：1難度：0.1
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-
1．拋物線x2=4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l,A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ）|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：470引用：8難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點為F，過x軸上一定點D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于點C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ?。?/h2>S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點，點A（-2，0），點M，N是y軸上的兩個動點（點M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點D，Q，射線MP交x軸正半軸于點E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：96引用：2難度：0.4