水車又稱孔明車，是中國最古老的農業灌溉工具，是先人們在征服世界的過程中創造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產．相傳為漢靈帝時畢嵐造出雛形，經三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時廣泛用于農業灌溉，已有1700余年歷史．小明對水車進行了研究，如圖，水渠CD與水車⊙O相切于點D，連接DO，已知⊙O的半徑為1.2米，支柱OA、BC與水面AB垂直，支柱OA的高度為3.5米，點A與點B之間的距離為3.6米，點O，A，B，C，D在同一平面內．
（1）求證：∠AOD-∠BCD=90°．
（2）實踐中發現，水渠CD與支柱BC的夾角∠BCD大小為74°時，水車裝置較為牢固穩定，請計算支柱BC的高度．（結果要求精確到0.1，參考數據：sin74°≈2425，cos74°≈725，tan74°≈247）
sin
74
°≈
24
25
cos
74
°≈
7
25
tan
74
°≈
24
7
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）支柱BC的高度為5.8米．
（2）支柱BC的高度為5.8米．
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/21 21:30:1組卷：358引用：5難度：0.7
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1．【新知學習】如圖1，兩個力作用于點A，線段AB，AD的長度分別表示力的大小，箭頭方向為力的方向，則兩個力可以產生一個效果相同的合力，此合力的大小可用以AB，AD為鄰邊的平行四邊形ABCD的對角線AC長度表示，合力方向為AC箭頭方向．
【數學實踐】現有兩個同規格的滑輪、若干個同質量的砝碼和一條無彈性繩子．如圖2，將兩個滑輪固定在同一水平高度的A，B兩點，在繩子的固定位置點C處掛5個砝碼，繩子分別繞過兩個滑輪，兩端分別掛4個和3個砝碼，平衡靜止時，量得夾角∠ACB=90°，根據“新知學習”進行受力分析，如圖3，作平行四邊形CDEF，此時，CE=CG，即CD：CF：CE=3：4：5，從而驗證了∠ACB是直角．
【問題解決】（1）若將掛中間的5個砝碼中取出1個掛在右邊，使三處所掛砝碼均為4個，平衡靜止時，∠ACB的度數為 度．
（2）若將掛中間的5個砝碼中取走1個，使從左到右三處所掛砝碼個數分別為4個、4個、3個，平衡靜止時，sin∠ABC的值為 ．發布：2025/5/22 22:30:1組卷：222引用：2難度：0.4 -
2．如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角為α時，梯子頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點B處，現將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα=cosβ=，則梯子頂端上升了（ ）35發布：2025/5/22 23:30:1組卷：2698引用：19難度：0.6 -
3．圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．
（1）求∠BAD的度數．
（2）求表AC的長（最后結果精確到0.1米）．
（參考數據：sin37°≈，cos37°≈35，tan37°≈45，tan84°≈34）192發布：2025/5/22 23:30:1組卷：1989引用：20難度：0.6
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