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試題詳情
橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知Q（x0，y0）為橢圓上任意一點，求以Q為切點，橢圓的切線方程．
（3）設點P為直線x=4上一動點，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點，并求出該定點的坐標．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明：設點P（4，t），切點A（x1，y1），B（x2，y2），
由（2）可知兩切線方程PA，PB分別為，，
P點在切線PA，PB上，故P（4，t）滿足，，
得：，，
故A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足方程，
即為AB的直線方程，中，
令y=0，則x=1，故AB過定點（1，0），題得證．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）
x
x
0
4
+
y
x
0
3
=
1
（3）證明：設點P（4，t），切點A（x1，y1），B（x2，y2），
由（2）可知兩切線方程PA，PB分別為
x
x
1
4
+
y
y
1
3
=
1
x
x
2
4
+
y
y
2
3
=
1
P點在切線PA，PB上，故P（4，t）滿足
x
x
1
4
+
y
y
1
3
=
1
x
x
2
4
+
y
y
2
3
=
1
得：
x
1
+
t
y
1
3
=
1
x
2
+
t
y
2
3
=
1
故A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足方程
x
+
ty
3
=
1
即
x
+
ty
3
-
1
=
0
x
+
ty
3
-
1
=
0
令y=0，則x=1，故AB過定點（1，0），題得證．
【解答】
【點評】
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發布：2024/11/7 8:0:2組卷：80引用：1難度：0.1
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