綜合與實(shí)踐
老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點(diǎn)M，P，N分別為DE，AD，AB的中點(diǎn)．試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
甲小組發(fā)現(xiàn)：PM=PN，PM⊥PN．并進(jìn)行了證明，下面的兩個(gè)片段是截取的部分證明過程（片段前后證明過程已省略）：
【片段1】∵點(diǎn)P，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，
∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）
【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（理由2）
反思交流
（1）①填空：理由1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；理由2：直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余；
②圖1中，MN與AB的位置關(guān)系是 MN⊥AB或MN垂直平分ABMN⊥AB或MN垂直平分AB．
（2）乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請(qǐng)判斷△PMN的形狀并證明；
（3）丙小組的同學(xué)繼續(xù)探究：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD=4，CB=10時(shí)，直接寫出線段MN長(zhǎng)度的最大值．
PM
∥
AE
，
PM
=
1
2
AE
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余；MN⊥AB或MN垂直平分AB
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/26 11:36:51組卷：253引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠ACB=∠A′C′B=90°，△A′BC′繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，AA′，CC′相交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)∠CBC′=90°時(shí)，線段AE與A′E的數(shù)量關(guān)系是：；
（2）當(dāng)∠CBC′≠90°時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2說明理由；
（3）若BC=5，AC=3，當(dāng)AC′∥BC時(shí)，請(qǐng)直接寫出CC′的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/24 17:0:2組卷：48引用：1難度：0.1 -
2．觀察猜想
（1）如圖1，在等邊△ABC與等邊△ADE中，△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜360），則線段BD與線段CE的數(shù)量關(guān)系是 ，直線BD與直線CE相交所成較小角的度數(shù)是 ；
類比探究
（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，∠BCA=∠DEA=90°，CB=CA，ED=EA，其他條件不變，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并證明；
拓展應(yīng)用
（3）如圖3，在△ABC與△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=60°，AB=3AD=3，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出CE的值．3
發(fā)布：2025/5/24 20:0:2組卷：208引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，設(shè)∠BAC=∠DAE=α，連接BD，以BC、BD為鄰邊作平行四邊形BDFC，連接EF．
（1）若α=60°，當(dāng)AD、AE分別與AB、AC重合時(shí)（圖1），易得EF=CF．當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）若α=90°，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)，試判斷線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若α為任意角度，AB=6，BC=4，AD=3，△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（圖4）；當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度．
發(fā)布：2025/5/24 16:0:1組卷：138引用：1難度：0.3