如圖，二次函數的圖象與x軸交于A（-3，0）和B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），點C，D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B，D．
（1）求二次函數解析式；
（2）求出頂點坐標和點D的坐標；
（3）二次函數的對稱軸上是否存在的一點M，使△BCM的周長最小？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若Q是線段BD上任意一點，過點Q作PQ⊥x軸交拋物線于點P，則點P坐標為多少時，PQ最長？
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）頂點坐標為（-1，4）；點C（0，3）關于對稱軸的對稱點D的坐標為（-2，3）；
（3）存在，M（-1，2）；
（4）點P坐標為時，PQ最長．
（2）頂點坐標為（-1，4）；點C（0，3）關于對稱軸的對稱點D的坐標為（-2，3）；
（3）存在，M（-1，2）；
（4）點P坐標為
（
-
1
2
，
15
4
）
【解答】
【點評】
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發布：2025/6/2 8:30:1組卷：377引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+
x+c與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C（0，-2）．43
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AC，點D為線段AC下方拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸交線段AC于E點，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1-S2的最大值及此時點D的坐標；
（3）如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線CB方向平移個單位長度得到新拋物線，動點M在原拋物線的對稱軸上，點N為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點A、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的過程寫出來．352發布：2025/6/4 0:0:8組卷：299引用：2難度：0.4 -
2．已知二次函數y=ax2-2ax-3a（a＞0）交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，過點A的直線交拋物線于點E．
（1）若S△ABC=6，求a的值．
（2）若AB平分∠DAE，
①求的值；ADAE
②求證：不論a取何值，總有∠AED＜45°．發布：2025/6/3 20:30:2組卷：72引用：1難度：0.3 -
3．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3與拋物線y=-x2+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上．點P是拋物線上任意一點，過點P作PQ⊥y軸，交直線AB于點Q，連接BP，設點P的橫坐標為m,△PQB的邊PQ與PQ邊上的高之差為d.
（1）求此拋物線解析式．
（2）求點Q的橫坐標（用含m的代數式表示）；
（3）∠BQP為銳角．
①求d關于m的函數關系式；
②當△AOB的頂點到PQ的最短距離等于d時，直接寫出m的值．
發布：2025/6/3 21:0:1組卷：205引用：3難度：0.1