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已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=
2
x,原點到過A（a,0）、B（0，-b）點直線l的距離為
6
3
．
（1）求雙曲線方程；
（2）過點Q（1，1）能否作直線m,使m與已知雙曲線交于兩點P₁，P₂，且Q是線段P₁P₂的中點？若存在，請求出其方程；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）

；
（2）不存在，
假設直線l存在．
設Q是線段P₁P₂的中點，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在雙曲線上，
∴代入作差，整理可得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯立方程組，得2x²-4x+3=0
∵Δ=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無交點，
∴直線l不存在．

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：413難度：0.9

相似題

1．已知F₁，F₂為橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的公共點，且∠F₁PF₂=
π
3
，e₁，e₂分別為橢圓和雙曲線的離心率，則
4
e
1
e
2
3
e
1
2
+
e
2
2
的值為（　?。?/h2>
A．1 B．2 C．3 D．4
發布：2025/1/2 23:30:3組卷：204難度：0.5
解析
2．若雙曲線
x
2
8
-
y
2
m
=1的漸近線方程為y=±2x,則實數m等于（　?。?/h2>
A．4 B．8 C．16 D．32
發布：2025/1/5 18:30:5組卷：26引用：1難度：0.9
解析
3．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點為F（2，0），漸近線方程為
3
x
±
y
=
0
，則該雙曲線實軸長為（　?。?/h2>
A．2 B．1 C．
3
D．
2
3
發布：2025/1/2 19:0:5組卷：136引用：2難度：0.7
解析

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2021-2022學年上海市青浦區朱家角中學高一（下）期末數學試卷

1．已知F1，F2為橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的公共點，且∠F1PF2=π3，e1，e2分別為橢圓和雙曲線的離心率，則4e1e23e12+e22的值為（ ?。?/h2>

2．若雙曲線x28-y2m=1的漸近線方程為y=±2x,則實數m等于（ ?。?/h2>

3．已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為3x±y=0，則該雙曲線實軸長為（ ?。?/h2>

1．已知F₁，F₂為橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的公共點，且∠F₁PF₂=
π
3
，e₁，e₂分別為橢圓和雙曲線的離心率，則
4
e
1
e
2
3
e
1
2
+
e
2
2
的值為（　?。?/h2>

2．若雙曲線
x
2
8
-
y
2
m
=1的漸近線方程為y=±2x,則實數m等于（　?。?/h2>

3．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點為F（2，0），漸近線方程為
3
x
±
y
=
0
，則該雙曲線實軸長為（　?。?/h2>