閱讀理解：如果一個直角與一條折線相交形成一個封閉圖形，那么這條折線在封閉圖形上的部分就稱為這個角的“補美邊”．例如：圖1中∠QPK=90°，它與折線MNGH形成的“補美邊”有三條，分別是線段MN、NG和GH．
解決問題：
（1）如圖2，∠QPK與矩形ABCD形成“補美邊”，點P在邊AD上且AP=2．若已知矩形ABCD中AB=4，AD=8．分別記∠QPK的兩邊PQ和PK交矩形的邊于點E和點F，設∠APE=β，0≤β≤90°．
①若β=30°，求∠QPK“補美邊”的所有邊長之和；
②若∠QPK“補美邊”的所有邊長之和為9，求tanβ的值．
（2）如圖3，已知平行四邊形ABCD中∠B=60°，AB=6，BC=8．點P在邊AD上且AP=2，若∠QPK與平行四邊形ABCD形成“補美邊”的所有邊長之和為10，請直接寫出線段AE的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）①6+；
②tanβ=或2．
（2）3+．
2
3
3
②tanβ=
3
2
（2）3+
7
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：304引用：2難度：0.4
相似題
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1．已知△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°．
發現：如圖-1，點D落在AC上，點E落在CB上，則直線AD和直線BE的位置關系是 ；線段AD和線段BE的數量關系是 ．
探究：在圖-1的基礎上，將△CDE繞點C逆時針旋轉，得到圖-2．
求證：（1）AD=BE，（2）BE⊥AD．
應用：如圖-3，四邊形ABCD是正方形，E是平面上一點，且AE=3，DE=．2
直接寫出CE的取值范圍．發布：2025/5/26 0:0:1組卷：84引用：2難度：0.4 -
2．在△ABC中，∠ACB=90°，把線段AB繞點A逆時針旋轉到AD的位置，連接BD，點E是BD的中點，連接CE交AB于點F．
（1）如圖1，若DB⊥CB，求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）如圖2，已知∠CAB=∠BAD．
①求證：∠CAB=∠CEB；
②試判斷BC，BE，BF之間的數量關系，并說明理由．發布：2025/5/26 1:0:1組卷：137引用：1難度：0.3 -
3．“無刻度直尺”是尺規作圖的工具之一，它的作用在于連接任意兩點、作任意直線、延長任意線段．結合圖形的性質，只利用無刻度直尺也可以解決一些幾何作圖問題．
（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E在AD邊上，且DE=CD，連接CE．求證：CE是∠BCD的角平分線．
（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，請利用無刻度直尺作圖（僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法）．
①在圖2中，請過點E作AB的平行線交AD于點F．
②在圖3中，請過點E作AC的平行線交AB于點F．
（3）如圖4，點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊上，DE=CD=CF．連接DF，請過點A作DF的垂線，垂足為G（僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法）．
發布：2025/5/26 1:0:1組卷：314引用：1難度：0.4