已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x,y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到2倍后得到點Q（x,2y）滿足AQ?BQ=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-22的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足OM+ON+OH=0（O為坐標原點），試判斷點H是否在曲線C上，并說明理由．
2
2
y
AQ
?
BQ
=
1
2
2
OM
+
ON
+
OH
=
0
【答案】（1）+y2=1．
（2）是；
因直線l過點B，且斜率為k=-，故有l：y=-（x-1）
聯立直線與橢圓，消元可得2x2-2x-1=0．
設兩曲線的交點為M（x1，y1）、N（x2，y2），可得 x1+x2=1，x1x2=-，
于是 x1+x2=1，y1+y2=．
又，于是=（-x1-x2，-y1-y2），可得點H（-1，-）．
將點H（-1，-）的坐標代入曲線C的方程的左邊，有=1（=右邊），即點H的坐標滿足曲線C的方程．
所以點H在曲線C上．
x
2
2
（2）是；
因直線l過點B，且斜率為k=-
2
2
2
2
聯立直線與橢圓，消元可得2x2-2x-1=0．
設兩曲線的交點為M（x1，y1）、N（x2，y2），可得 x1+x2=1，x1x2=-
1
2
于是 x1+x2=1，y1+y2=
2
2
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
OH
2
2
將點H（-1，-
2
2
1
2
+
1
2
所以點H在曲線C上．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：199引用：3難度：0.3
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