如圖，點P在射線AB的上方，0°＜∠PAM＜60°、PA=4，點M是射線AB上的動點（點M不與點A重合），現將點P繞點A按順時針方向旋轉60°到點Q，將點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，連接AQ，PM，PN，作直線QN．
（1）求證：AM=QN；
（2）直線QN與以點P為圓心，PN的長為半徑的圓是否存在相切的情況？若存在，請求出此時∠APN和∠PAM的關系，若不存在，請說明理由；
（3）若∠PAB=50°，當以點P為圓心，PN長為半徑的圓經過點Q時，直接寫出劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積．
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，∠APN+∠PAM=150°；
（3）．
（2）存在，∠APN+∠PAM=150°；
（3）
32
9
π
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/25 17:30:1組卷：45難度：0.4
相似題
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1．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作MN⊥AC，垂足為M，交AB的延長線于點N，過點B作BG⊥MN，垂足為G．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）求證：BD2=AC?BG；
（3）若BN=OB，⊙O的半徑為1，求tan∠ANC的值．發布：2025/5/26 3:30:1組卷：1502引用：10難度：0.1 -
2．如圖1，已知Rt△ACB，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，點D、E為邊AC，BC上的任意點（不與點A，點B重合），以DE為直徑的⊙O交邊AB于點F，點G，半徑為r,連結CF交DE于點H，連結OF，EF，設∠CEF=α．
（1）請用含有α的代數式表示出∠OFC；
（2）若α=60°，CH：HF=2：1，求CE的長（用含有r的代數式表示）；
（3）若DE∥AB，
①若⊙O與邊AB相交，求r的取值范圍；
②如圖2，連結GE，若GE平分∠DEB，求CE．
發布：2025/5/26 4:0:1組卷：241引用：1難度：0.2 -
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AE交BC于點H，點D在弧AC上，過點E作EF∥BC交AD的延長線于點F，延長BC交AF于點G．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若BC=2，AH=CG=3，求EF的長；
（3）在（2）的條件下，直接寫出CD的長．發布：2025/5/26 4:0:1組卷：412難度：0.5