探究閱讀題：
【閱讀】在大自然里，有很多數學的奧秘，一片美麗的心形葉片，一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．（如圖1和圖2）
【探究任務1】確定心形葉片的形狀
如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過原點，求拋物線的解析式和頂點D的坐標．
【探究任務2】研究心形葉片的尺寸
如圖3，心形葉片的對稱軸直線y=x+2與坐標軸交于A、B兩點，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G，求葉片此處的寬度EE′．
【探究任務3】研究幼苗葉片的生長小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發現幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分．如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究任務1中的二次函數，已知直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上，如圖5所示，求此時幼苗葉子的長度和最大寬度．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】【探究任務1】：，頂點D的坐標為 （2，-1）；
【探究任務2】：；
【探究任務3】：葉片此時的長度為，最大寬度為．
y
=
1
4
x
2
-
x
=
1
4
（
x
-
2
）
2
-
1
【探究任務2】：
5
2
【探究任務3】：葉片此時的長度為
3
5
3
5
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/24 8:0:9組卷：761引用：2難度：0.2
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．發布：2025/6/25 8:30:1組卷：6972引用：21難度：0.1 -
2．給定一個函數，如果這個函數的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數的不變點．
（1）一次函數y=3x-2的不變點的坐標為．
（2）二次函數y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側），將點Q繞點P順時針旋轉90°得到點R，求點R的坐標．
（3）已知二次函數y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5