設拋物線C：x2=2py（0＜p＜8）的焦點為F，點P是C上一點，且PF的中點坐標為（2，52）
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）動直線l過點A（0，2），且與拋物線C交于M，N兩點，點Q與點M關于y軸對稱（點Q與點N不重合），求證：直線QN恒過定點．
5
2
【考點】直線與拋物線的綜合．
【答案】（Ⅰ）x2=4y；
（Ⅱ）（法一）依題意直線l的斜率存在，
設直線l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），
聯立
消去y得x2-4kx-8=0，顯然Δ＞0，由韋達定理得
，
∵，
∴直線QN方程為，
即，
∵x1?x2=-8，∴QN方程為，
即直線QN方程恒過定點（0，-2）．
（法二）依題意知直線QN的斜率存在且不為0，
設直線QN方程為y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
則M（-x1，y1），
聯立
消去y得x2-4kx-4b=0．
∵Q，N是拋物線C上不同兩點，∴必有Δ＞0，
由韋達定理得
，
∵M，A，N三點共線，，
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k?（-4b）+（b-2）?4k=0化簡得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直線QN方程為y=kx-2，
∴直線QN恒過定點（0，-2）．
（Ⅱ）（法一）依題意直線l的斜率存在，
設直線l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），
聯立
x 2 = 4 y |
y = kx + 2 |
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 8 . |
∵
k
QN
=
y
2
-
y
1
x
2
+
x
1
=
x
2
2
4
-
x
1
2
4
x
2
+
x
1
=
x
2
-
x
1
4
∴直線QN方程為
y
-
y
1
=
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
即
y
=
y
1
+
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
（
x
2
-
x
1
）
4
+
x
1
2
4
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
x
2
4
∵x1?x2=-8，∴QN方程為
y
=
x
2
-
x
1
4
x
-
2
即直線QN方程恒過定點（0，-2）．
（法二）依題意知直線QN的斜率存在且不為0，
設直線QN方程為y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
則M（-x1，y1），
聯立
x 2 = 4 y |
y = kx + b |
∵Q，N是拋物線C上不同兩點，∴必有Δ＞0，
由韋達定理得
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 4 b . |
∵M，A，N三點共線，
AM
=
（
-
x
1
，
y
1
-
2
）
，
AN
=
（
x
2
，
y
2
-
2
）
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k?（-4b）+（b-2）?4k=0化簡得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直線QN方程為y=kx-2，
∴直線QN恒過定點（0，-2）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：126難度：0.4
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-
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