在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點O的圓M（圓心M在第Ⅰ象限）與x軸正半軸交于點A（2，0），弦OA將圓M截得兩段圓弧的長度比為1：5．
（1）求圓M的標準方程；
（2）設點B是直線l：3x+y+23=0上的動點，BC、BD是圓M的兩條切線，C、D為切點，求四邊形BCMD面積的最小值；
（3）若過點M且垂直于y軸的直線與圓M交于點E、F，點P為直線x=5上的動點，直線PE、PF與圓M的另一個交點分別為G、H（GH與EF不重合），求證：直線GH過定點．
3
3
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明：設點P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），
由題意知：E（-1，），F（），
∴，kPF==kFH．
∴kPF=3kPE，
∴，①
∵點G、H在圓M上，∴將和代入①整理得：
2x1x2-7（x1+x2）+20=0，②
當斜率k存在時，設直線GH的方程為y=kx+b，
聯立
，得．
，．
代入②整理得：．
∴，解得b=或b=．
當b=時，直線GH的方程為y=k（x-2）+，過定點（2，）；
當b=時，直線GH的方程為y=k（x-5）+，過定點（5，）．
∵GH與EF不重合，∴點（5，）不合題意．
當斜率k不存在時，
聯立
，解得G（2，2），H（2，0）．
∴點（2，）適合．
綜上，直線GH過定點（2，）．
（
x
-
1
）
2
+
（
y
-
3
）
2
=
4
（2）
4
2
（3）證明：設點P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），
由題意知：E（-1，
3
3
，
3
∴
k
PE
=
y
0
-
3
6
=
y
1
-
3
x
1
+
1
=
k
GE
y
0
-
3
2
=
y
2
-
3
x
2
-
3
∴kPF=3kPE，
∴
（
y
2
-
3
）
2
（
x
2
-
3
）
2
=
9
×
（
y
1
-
3
）
2
（
x
1
+
1
）
2
∵點G、H在圓M上，∴將
（
y
1
-
3
）
2
=
4
-
（
x
1
-
1
）
2
（
y
2
-
3
）
2
=
4
-
（
x
2
-
1
）
2
2x1x2-7（x1+x2）+20=0，②
當斜率k存在時，設直線GH的方程為y=kx+b，
聯立
y = kx + b |
（ x - 1 ） 2 + （ y - 3 ） 2 = 4 |
（
1
+
k
2
）
x
2
+
（
2
kb
-
2
3
k
-
2
）
x
+
b
2
-
2
3
b
=
0
x
1
+
x
2
=
-
2
kb
-
2
3
k
-
2
1
+
k
2
x
1
x
2
=
b
2
-
2
3
b
1
+
k
2
代入②整理得：
b
2
+
（
7
k
-
2
3
）
b
+
10
k
2
-
7
3
k
+
3
=
0
∴
（
b
+
2
k
-
3
）
（
b
+
5
k
-
3
）
=
0
3
-
2
k
3
-
5
k
當b=
3
-
2
k
3
3
當b=
3
-
5
k
3
3
∵GH與EF不重合，∴點（5，
3
當斜率k不存在時，
聯立
x = 2 |
（ x - 1 ） 2 + （ y - 3 ） 2 = 4 |
3
∴點（2，
3
綜上，直線GH過定點（2，
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/8 15:0:9組卷：618引用：4難度：0.1